Question

如圖，⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（-2，6）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D．求證：AD∥OB；
（3）動點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動；同時(shí)動點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)P的速度為每秒一個(gè)單位長，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，求運(yùn)動時(shí)間t的值．

Answer 1

分析：（1）把經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）連接AC交OB于點(diǎn)E，連接OC、OB，然后根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上求出AC⊥OB，再根據(jù)圓的切線的定義求出AC⊥AD，然后根據(jù)垂直于同一直線的兩直線互相平行證明；
（3）根據(jù)∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的長，表示出OP、OQ，再過O點(diǎn)作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，從而得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x；

（2）如圖，連接AC交OB于點(diǎn)E，連接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD為切線，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×

3

4

=3，
當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，OP=t，DQ=2t，
過O點(diǎn)作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，圓的切線的定義，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，平行線間的距離相等的性質(zhì)，難度較大，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．