Question

如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=30°，AC=4，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ABC=∠D=90°，然后利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠BAC=∠DAC=15°，連接OB，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BOC=30°，過點B作BE⊥AC于E，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BE，然后求出△ABC的面積，再根據(jù)四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD計算即可得解．

解答：解：由圖可知，AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=AC AB=AD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=

1

2

×30°=15°，
連接OB，則OA=OB，
∴∠ABO=∠BAC=15°，
∴∠BOC=∠ABO+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AC=4，
∴OB=OA=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
過點B作BE⊥AC于E，
則BE=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×1=2，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴S_△ADC=S_△ABC=2，
四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD=2+2=4．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線求出AC邊上的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．