Question

如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB, CD的延長線分別交于E,F．

小題1:求證：△BOE≌△DOF；
小題2:在現(xiàn)有條件下，再添加EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以A,E,C,F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？

Answer 1

小題1:見解析
小題2:見解析

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴OB=OD（矩形的對(duì)角線互相平分）
AE∥CF（矩形的對(duì)邊平行）
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF（AAS）；                           4′
（2）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OC（矩形的對(duì)角線互相平分）
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．