Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

=

2007

2008

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題中所給出的列子進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；
（2）根據(jù)（1）中的猜想計算出結(jié)果．

解答：解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2008

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2007

-

1

2008

=1-

1

2008

=

2007

2008

；

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；

2007

2008

；

n

n+1

．

點評：本題考查的是分式的加減，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．