Question

如圖1，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且OC=2，OA：OB=1：4，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=x+b與Rt△ABC相交，所截得的三角形面積是原Rt△ABC面積的

3

10

，求b的值；
（3）將△OAC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OEF，如圖2，再將△OEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)E、F、O對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△OAC∽△GCF．
∴

OA

OC

=

OC

OB

，即OC²=OA•OB
∵OA：OB=1：4，OC=2
∴OA=1，OB=4
∴A（-1，0），B（4，0）
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）坐標(biāo)代入
得2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

（x+1）（x+4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）由B（4，0）、C（0，2）得直線BC解析式為y=-

1

2

x+2；
當(dāng)直線y=x+b過(guò)點(diǎn)A時(shí)，b=1，由

y=x+1 y=- 1 2 x+2

，
得交點(diǎn)H（

2

3

，

5

3

），
則S_△ABH=

1

2

×5×

5

3

=

25

6

＞

3

10

×5
S_△ACH=S_△ABC-S_△ABH=

5

6

＜

3

10

×5
∴直線y=x+b只能與BC相交．
直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)G（-b，0），BG=4+b，
解方程組

y=x+b y=- 1 2 x+2

．
得H（

4-2b

3

，

4+b

3

）
根據(jù)題意得

1

2

（4+b）×

4+b

3

=

3

10

×（

1

2

×5×2）
解得b=-1或b=-7
經(jīng)檢驗(yàn)，b=-7都是原方程的根，不符合題意舍去．
∴b=-1．

（3）根據(jù)題意得MQ∥OE，NQ∥OF
且MQ=OE=1，NQ=OF=2，
設(shè)M（t，-

1

2

t2+

3

2

t+2），
則N（t+2，-

1

2

t2+

3

2

t+1）
于是-

1

2

t2+

3

2

t+1-（-

1

2

(t+2)2+

3

2

(t+2)+2t）=1
∴M（1，3），N（2，1）