Question

a、b為實數(shù)，關于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三個不相等的實數(shù)根：
（1）求證：a²-4b-8=0
（2）若該方程的三個不相等的實數(shù)根恰為一直角三角形的三邊長，求此三角形的三邊的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于關于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三個不相等的實數(shù)根，所以有三種情況：
①兩個方程都有不相等的兩個實數(shù)根，但兩個方程有一個相同的根；
②第一個方程有兩個不同的實數(shù)根，第二個方程有兩個相等的實數(shù)根；
③第一個方程有兩個相同的實數(shù)根，第二個方程有兩個不相等的實數(shù)根；然后結合方程的形式討論其中只有②成立，由此即可證明題目的結論；
（2）利用（1）知道第一個方程有兩個不同的實數(shù)根，第二個方程有兩個相等的實數(shù)根，然后利用根與系數(shù)的關系及已知條件即可求出結果．
解答：解：（1）∵關于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三個不相等的實數(shù)根，
∴有三種情況：
①兩個方程都有不相等的兩個實數(shù)根，但兩個方程有一個相同的根；
設相同的根是t，將t代入這組方程得到，
t²+at+b=2
t²+at+b=-2
這種情況不可能，所以排除；
②第一個方程有兩個不同的實數(shù)根，第二個方程有兩個相等的實數(shù)根；
此時x²+ax+b=-2可以變?yōu)閤²+ax+b+2=0，
∴△=a²-4b-8=0；
③第一個方程有兩個相同的實數(shù)根，第二個方程有兩個不相等的實數(shù)根，
此時x²+ax+b=2可以變?yōu)閤²+ax+b-2=0，
∴△=a²-4b+8=0，
設x₁=x₂=t，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=b-2，
第二個方程中設x₃和x₄是方程的根，
∴x₃+x₄=-a，x₃x₄=b+2，
∵x₁x₂=b-2，
∴t=，
∴x₃+x₄=-a=2，x₃x₄=b+2，
由這組關系式用韋達定理可以將x₃，x₄看做方程
x²-2x+b+2=0的解，
然而x²-2x+b+2=（x-2）²+4，這個關系式大于0，
所以該方程無解，也就是第三種情況不存在；

（2）∵第二種情況存在，
設x₁、x₂是第一個方程的根，x₃、x₄是第二個方程的根
∴由韋達定理知x₁+x₂=-a，x₁x₂=b-2，x₃+x₄=-a，x₃x₄=b+2．
設x₃=x₄=t（t＞0）
那么t²=b+2，得t=，
∵a²-4b-8=0，
∴a²=4b+8，
∴a=-2，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=b-2，
解得x₁=+2，x₂=-2
∵x₁，x₂，t構成直角三角形三條邊，
∴（+2）²=（-2）²+（）²
解得b=62，
∴x₁=+2=8+2=10，
x₂=-2=8-2=6，
t==8；
故直角三角形三條邊長分別是6，8，10（從小到大）．
點評：此題比較難，綜合考查了一元二次方程的根的定義，判別式，根與系數(shù)的關系等知識，同時也考查了分類討論的數(shù)學思想，對于學生分析問題解決問題的能力要求比較高，所以平時要加強訓練．