Question

a、b為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程|x²+ax+b|=2有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
（1）求證：a²-4b-8=0；
（2）若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證：該三角形必有一個(gè)內(nèi)角60°；
（3）若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求a和b的值．

Answer 1

分析：（1）由絕對(duì)值的意義，原方程可以化為兩個(gè)方程，又因?yàn)樵�方程有三個(gè)根，所以這兩個(gè)方程中有一個(gè)方程是有不等實(shí)數(shù)根，有一個(gè)方程有兩相等實(shí)數(shù)根，用一元二次方程根的判別式進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)三角形三內(nèi)角和為180°，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根之和求出a的值，然后確定三角形的內(nèi)角；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，求出a，b的值．

解答：證明：（1）由原方程得：x²+ax+b-2=0①，x²+ax+b+2=0②，
兩方程的判別式分別為：△₁=a²-4b+8，△₂=a²-4b-8，
∵原方程有三個(gè)根，∴方程①，②中有一個(gè)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，另一個(gè)方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
即△₁，△₂中必有一個(gè)大于0，一個(gè)等于0，比較△₁，△₂，顯然△₁＞△₂，
∴△₁＞0，△₂=0，
即a²-4b-8=0；

（2）設(shè)方程①的兩根為x₁，x₂，方程②的根為x₃，則x₁+x₂+x₃=180°，
∵x₁+x₂=-a，x₃=-

a

2

，
∴x₁+x₂+x₃=-

3

2

a=180°，
∴a=-120°，
∴x₃=-

a

2

=60°．
故該三角形中有一個(gè)內(nèi)角為60°；

解：（3）方程①中的兩根x₁，x₂必有一個(gè)大于方程②中的x₃，而另一個(gè)小于x₃，
∴可以設(shè)x₁＞x₃＞x₂，則由已知得：x₁²-x₂²=x₃²，即（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x₃²．
∴-a•

a2-4(b-2)

=(-

a

2

)2
整理得：a²+4a

a2-4b+8

=0
由（1）有：a²-4b=8代入上式得：a²+16a=0，
∴a₁=0，a₂=-16．
當(dāng)a=0時(shí)，x₃=0，這與題目中方程的根是直角三角形的邊矛盾，
∴a=-16．
把a(bǔ)=-16代入a²-4b-8=0中，得b=62．
故a=-16，b=62．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，（1）題根據(jù)方程的根的情況，用一元二次方程根的判別式進(jìn)行證明．（2）題根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三內(nèi)角和是180°進(jìn)行證明．（3）題根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理，并用（1）題中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算求出a，b的值．