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        1. 【題目】(1) 發(fā)現(xiàn):

          如圖1,點是線段外一動點,且,.當(dāng)點位于 時,線段的長取得最大值;最大值為 (用含的式子表示)

          (2)應(yīng)用:

          如圖2,點為線段外一動點,,,分別以為邊在外部作等邊和等邊,連接,

          ①求證:;

          ②直接寫出線段長的最大值.

          (3)拓展:

          如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點,點,點為線段外一動點,,,請直接寫出線段長的最大值及此時點的坐標(biāo).

          【答案】1)線段的延長線上,;(2)①證明見解析;②3;③,(2-,)或(2--).

          【解析】

          1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論;

          2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=CAE=60°,推出CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;

          3)連接BM,將APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PBN,連接AN,得到APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為;如圖2,過PPEx軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

          1)∵點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b

          ∴當(dāng)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,

          故答案為:CB的延長線上,a+b;

          2)①證明: 是等邊三角形.

          ,

          是等邊三角形,

          ,

          ,

          .

          中,

          ),

          ..

          ②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

          由(1)知,當(dāng)線段CD的長取得最大值時,點DCB的延長線上,

          ∴最大值為BD+BC=AB+BC=3;.

          3)如圖1,

          ∵將APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PBN,連接AN

          APN是等腰直角三角形,

          PN=PA=3BN=AM,

          A的坐標(biāo)為(3,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),

          OA=3,OB=5

          AB=2,

          ∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

          ∴當(dāng)N在線段BA的延長線上時,線段BN取得最大值,

          最大值=AB+AN

          AN=AP=3,

          ∴最大值為3+2

          如圖2,

          PPEx軸于E

          ∵△APN是等腰直角三角形,

          PE=AE=

          OE=BO-AB-AE=5-3-=2-,

          P2-,).

          如圖3中,

          根據(jù)對稱性可知當(dāng)點P在第四象限時,P2-,-)時,也滿足條件.

          綜上所述,滿足條件的點P坐標(biāo)(2-,)或(2-,-),AM的最大值為3+2

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          ,求的長.

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