Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，過點A作AE∥BD交CD的延長線于點E．

（1）求證：AE＝DE；

（2）若∠BCD﹣∠CBD＝60°，求∠ABD的度數；

（3）在（2）的條件下，若BD＝21，CD＝9，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）30°；（3）AE的長為

【解析】

（1）根據題意得∠1＝∠ABC，∠2＝∠3，證明得到∠1＝∠2，即可證明AE＝DE；

（2）根據題意得∠5＝∠6，∠ABC＝∠4，則∠BCD＝∠4+∠6＝∠5+∠CBD+∠6，再由∠BCD﹣∠CBD＝60°，即可求出∠ABD的度數；

（3）作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，先證明△ADM≌△AND，求出BM和AM的值，設AE＝x，則DE＝x，NE＝x﹣6，在Rt△ANE中，根據勾股定理建立方程解出即可.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠1＝∠ABC，

∵AE∥BD，

∴∠2＝∠3，

∵∠3＝∠4，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴AE＝AD．

（2）解：如圖2中，

∵∠5＝∠6，∠ABC＝∠4，

∴∠BCD＝∠4+∠6＝∠5+∠CBD+∠6，

∵∠BCD﹣∠CBD＝60°，

∴∠5＝∠6＝30°．

（3）解：如圖2中，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，

∵∠5＝∠6，AB＝AC，∠AMB＝∠ANC＝90°，

∴△AMB≌△ANC（AAS），

∴AM＝AN，BM＝CN，

∵∠3＝∠1，AD＝AD，∠AND＝∠AMD＝90°，

∴△ADM≌△ADN（AAS），

∴DN＝DM，

∴DM＝DN＝（BD﹣CD）＝6，

在Rt△AMB中，∵∠5＝30°，BM＝15，

∴BM2+AM2＝AB2，AB＝2AM，AN=AM＝5，

設AE＝x，則DE＝x，NE＝x﹣6，

在Rt△ANE中，∵AN2+NE2＝AE2，

∴（5）2+（x﹣6）2＝x2，

∴x＝，

∴AE的長為．