Question

【題目】己知：正方形．

如圖，點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊和上，且．此時(shí)，線段、的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，連接、，此時(shí)中的結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，連接、，猜想溝與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，直線垂直平分．請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

如圖，等腰直角三角形繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，連接、、、得到四邊形，則順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】且；詳見解析；；正方形．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADF，延長(zhǎng)DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，從而得到∠BOD=90°，根據(jù)垂直的定義得到BE⊥DF；
（3）連接BD，直線DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，解答出即可；
（4）如圖4，通過證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結(jié)合（2）中結(jié)論，可得到各邊中點(diǎn)所組成的四邊形的形狀

(1)在正方形ABCD中,AB=AD,，

∵AE=AF，

∴ABAE=ADAF，

即BE=DF，

∵

∴BE⊥DF，

故答案為BE=DF，BE⊥DF；

(2)成立；

理由：如圖②，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

延長(zhǎng)DF交BE于O，

∵,∠AGF=∠BGO(對(duì)頂角相等)，

∴

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(3)如圖③，

連接BD，

∵直線DF垂直平分BE，

∴AD+AE=BD,

∴

故答案為

(4)如圖④，

連接BE、DF，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

設(shè)DF交BE于點(diǎn)P，

∵,∠DYA=∠BYP(對(duì)頂角相等)，

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

∴順次連接四邊形BDEF各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.

故答案為:正方形.