Question

在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，點D、E分別在AB、AC上，且DE將△ABC的周長分成相等的兩部分．設(shè)AE=x，AD=y，△ADE的面積為S．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；試判斷S是否有最大值，若有，則求出其最大值，并指出此時△ADE的形狀；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DE平分三角形ABC的周長，可得出的條件是AD+AE=BD+BC+CE，可先用x、y表示出CE、BD的長，然后根據(jù)上面得出的等量關(guān)系來求出yx的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)CE、AE的長均不為負數(shù)來求出x的取值范圍．
（2）求三角形ADE的面積，需要知道底邊和高的長，已知了底邊AE=x，關(guān)鍵是求出底邊AE上的高，過D作DF⊥AE于F，可在直角三角形ADF中，根據(jù)∠A的正弦值，用AD的長表示出DF的值．然后根據(jù)三角形的面積公式可得出關(guān)于S、x、y的函數(shù)關(guān)系式，將（1）得出的關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式代入剛剛得出的函數(shù)式中即可得出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式．
然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出S的最大值以及對應(yīng)的x的取值，有了x的值，即可通過此時AE、AD的長來判斷出三角形ADE的形狀．

解答：解：（1）∵DE平分△ABC的周長，
∴AD+AE=

6+8+10

2

=12，即y+x=12，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=12-x（2≤x≤6）．

（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，
∵6²+8²=10²，即AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴sin∠A=

BC

AB

=

DF

AD

，即

8

10

=

DF

12-x

∴DF=

48-4x

5

∴S=

1

2

•AE•DF=

1

2

•x•

48-4x

5

=-

2

5

x²+

24

5

x
=-

2

5

（x-6）²+

72

5

，
故當x=6時，S取得最大值

72

5

，
此時，y=12-6=6，即AE=AD．
因此，△ADE是等腰三角形．

點評：本題結(jié)合了三角形的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題中的條件得出x，y的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．