Question

如圖，已知：在⊙O中，直徑AB=4,點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過(guò)E作弦CD⊥AB,點(diǎn)F是弧BC上一點(diǎn)，連結(jié)AF交CE于H,連結(jié)AC、CF、BD、OD。

（1）求證：⊿ACH∽⊿AFC；

（2）猜想：AH·AF與AE·AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）探究：當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，S_⊿AEC:S_⊿BOD=1：4？并加以說(shuō)明。

 

Answer 1

（1）證明：∵直徑AB⊥CD     ∴

∴ ∠F=∠ACH ,    又∠CAF=∠FAC

∴ ⊿ACH∽⊿AFC；

(2)答：AH·AF=AE·AB

連結(jié)FB

∵AB是直徑    ∴ ∠AFB=∠AEH=90⁰

又 ∠EAH=∠FAB

∴Rt⊿AEH∽R(shí)t⊿AFB

∴    ∴AH·AF=AE·AB

(3)當(dāng)OE=(或AE=)時(shí)，S_⊿AEC:S_⊿BOD=1：4

∵直徑AB⊥CD,    ∴CE=ED

∵ S_⊿AEC=AE·EC       S⊿BOD=OB·ED     ∴

∵⊙O的半徑為2，∴