Question

（本小題滿分１２分）如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點C，F．AD，BE相交于點G，連接BD．

（1）求BD的長；
（2）求∠ABE+2∠D的度數；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）連接OC，并延長BO交AE于點H，
∵AB是小圓的切線，C是切點，
∴OC⊥AB，
∴C是AB的中點． 
∵AD是大圓的直徑，
∴O是AD的中點．
∴OC是△ABD的中位線．
∴BD=2OC=10． 
（2）連接AE，由（1）知C是AB的中點．
同理F是BE的中點．
由切線長定理得BC=BF．
∴BA=BE．                       
∴∠BAE=∠E．
∵∠E=∠D， 
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º．
（3）連接BO，在Rt△OCB中，
∵OB=13，OC=5，
∴BC=12． 
由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．
∵∠BGO=∠AGB，
∴△BGO∽△AGB． 
∴． 

略