Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C在x軸上，點B坐標為(3，m)(m＞0)，線段AB與y軸相交于點D，以P(1，0)為頂點的二次函數圖像經過點B、D．

(1)請直接寫出用m表示點A、D的坐標；

(2)求這個二次函數的解析式；

(3)點Q為二次函數圖像上點P至點B之間的一點，連結PQ、BQ，求四邊形ABQP面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(3－m，0)，D(0，m－3)；2分 　　(2)設以P(1，0)為頂點的拋物線的解析式為y＝a(x－1)2(a≠0) 　　∵拋物線過點B、D， 　　∴；解得；4分 　　所以二次函數的解析式為y＝(x－1)2， 　　即：y＝x2－2x＋1；5分 　　(3)設點Q的坐標為(x，x2－2x＋1)，顯然1＜x＜3；6分 　　連結BP，過點Q作QH⊥x軸，交BP于點H． 　　∵A(－1，0)，P(1，0)，B(3，4) 　　∴AP＝2，BC＝3，PC＝2 　　由P(1，0)，B(3，4)求得直線BP的解析式為y＝2x－2 　　∵QH⊥x軸，點Q的坐標為(x，x2－2x＋1) 　　∴點H的橫坐標為x，∴點H的坐標為(x，2x－2) 　　∴QH＝2x－2－(x2－2x＋1)＝－x2＋4x－3；7分 　　∴四邊形ABQP面積S＝S△APB＋S△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC 　�。�×2×4＋×(－x2＋4x－3)×2 　�。剑瓁2＋４x＋1＝－(x－2)2＋5；9分 　　∵1＜x＜3 　　∴當x＝2時，S取得最大值為5，10分 　　即當點Q的坐標為(2，1)時，四邊形ABQP面積的最大值為5． 　　說明：用平行于PB的直線與拋物線相切于點Q的方法而得出準確結果不給全分(注：初中階段沒有解題依據)，可統(tǒng)一扣1分．