Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D．
（1）用m表示點(diǎn)A、D的坐標(biāo)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）點(diǎn)Q為二次函數(shù)圖象上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一點(diǎn)，且點(diǎn)Q到△ABC邊BC、AC的距離相等，連接PQ、BQ，求四邊形ABQP的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，可得出AO=0D，由點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）得出AC的長(zhǎng)度和OC的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)；
（2）由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，代入y=k（x-1）²，求出即可；
（3）根據(jù)四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-（△CBQ的面積+△CPQ的面積）求出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），
∴OC=3，BC=m．
∵AC=BC，
∴AC=m，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3-m，0），
由題意得：AO=OD，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，m-3）；

（2）設(shè)以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=k（x-1）²（k≠0），
∵拋物線過(guò)點(diǎn)B、D，
∴

m=k(3-1)2 m-3=k(0-1)2.

，
解得：

m=4 k=1.

，
所以二次函數(shù)的解析式為y=（x-1）²，
即：y=x²-2x+1；

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），顯然1＜x＜3，y＞0．
∵點(diǎn)Q到△ABC邊BC、AC的距離相等，
∴QE=FQ=y，
∵CO=3，∴x+y=3，y=3-x，即x²-2x+1=3-x，
整理得x²-x-2=0．解得x=2，x=-1（舍去），
所以y=1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)Q到邊AC、BC的距離都等于1．
連接CQ，
四邊形ABQP的面積=△ABC的面積-四邊形CBQP的面積，
=△ABC的面積-（△CBQ的面積+△CPQ的面積），
=

1

2

×4×4-（

1

2

×4×1+

1

2

×2×1）=5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法和一般四邊形面積求法，將四邊形分割成幾個(gè)三角形和差的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．