Question

如圖，一塊五邊形木板ABCDE是由矩形木板AFDE截去∠F后剩下的，AE=130cm，ED=100cm，BF=80cm，F(xiàn)C=40cm．現(xiàn)要在五邊形木板ABCDE上再截一塊矩形木板NPME，且點(diǎn)P在線段BC上，若設(shè)PM的長(zhǎng)為x（cm），矩形NPME的面積為y（cm²）．
求：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）求當(dāng)x為何值時(shí)，面積y最大，最大面積為多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)PM=x，表示PN的長(zhǎng)，為此延長(zhǎng)NP交FD于點(diǎn)H，構(gòu)造△CPH∽△CBF，利用對(duì)應(yīng)邊的比相等可求PH，PN=NH-PH=100-PH，根據(jù)題意求出自變量x的范圍；
（2）根據(jù)矩形面積公式求函數(shù)y，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸及自變量x的范圍求最大值．

解答：解：（1）延長(zhǎng)NP交FD于點(diǎn)H，
CH=HD-CD=PM-（FD-FC）
=x-（130-40）=x-90
∵PH∥BF，
∴△CPH∽△CBF．
∴

PH

BF

=

CH

CF

．
即

PH

80

=

x-90

40

．
∴PH=2x-180．
則y=PM•EM=x•[100-（2x-180）]=-2x²+280x
90≤x≤130．

（2）∵90≤x≤130
又因?yàn)閽佄锞�y=-x²+220x的對(duì)稱軸為x=70，開口向下．
所以，在90≤x≤130內(nèi)y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=90時(shí)，y=-2x²+280x取得最大值．
其最大值為y=9000cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合表示矩形PMEN的面積考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意在設(shè)矩形一邊長(zhǎng)后，求另一邊長(zhǎng)，把問題轉(zhuǎn)化到相似三角形來解．