Question

為參加學(xué)校科技節(jié)比賽，小明利用如圖的兩塊邊角料木板做模型，其中一塊是邊長(zhǎng)為60cm的正方形；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形（如圖①），小明想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材．他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域（如圖②），由于受木板紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)在EF上．
（1）求FC的長(zhǎng)；
（2）利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x（cm）為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形可得AD∥BG所以△DEF∽△CGF，再根據(jù)

DF

FC

=

DE

CG

，得出

60-FC

FC

=

30

60

，即可求出FC的長(zhǎng)；
（2）先過(guò)點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M，根據(jù)FC∥PN，得出△GFC∽△GPN，

FC

PN

=

GC

GN

，再根據(jù)BG=120，BC=60，求出CG，因?yàn)镻N=x，則

40

x

=

60

GN

，GN=

3

2

x，從而求出BN=120-

3

2

x，
最后得出設(shè)矩形的面積y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400即可求出矩形的最大面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

DF

FC

=

DE

CG

，
∴

60-FC

FC

=

30

60

，
∴FC=40（cm）

（2）如圖，設(shè)矩形頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，
當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M．
∵FC∥PN，
∴△GFC∽△GPN，
∴

FC

PN

=

GC

GN

，
∵BG=120，BC=60，
∴CG=BG-BC=120-60=60，
∵PN=x，則

40

x

=

60

GN

，
∴GN=

3

2

x，
∴BN=120-

3

2

x，
∴設(shè)矩形的面積y=x(120-

3

2

x)=-

3

2

(x-40)2+2400．
∴當(dāng)x=40時(shí)，y的最大值為2400（cm²）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)；本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)表示出矩形的面積，得出二次函數(shù)．