Question

某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

(1)操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào)即可)

①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④MD⊥ME

(2)數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

(3)類比探究：

(i)在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MEC的形狀．答：________．

(ii)在三邊互不相等的△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，要使(2)中的結(jié)論時(shí)仍然成立，你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件？(限制用題中字母表示)并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④ 　　●數(shù)學(xué)思考： 　　答：MD＝ME， 　　1、MD＝ME； 　　如圖2，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，MF，MG，EG， 　　∵M是BC的中點(diǎn)， 　　∴MF∥AC，MF＝AC． 　　又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線， 　　∴EG⊥AC且EG＝AC， 　　∴MF＝EG． 　　同理可證DF＝MG． 　　∵MF∥AC， 　　∴∠MFA＋∠BAC＝180°． 　　同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°， 　　∴∠MFA＝∠MGA． 　　又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°． 　　同理可得∠DFA＝90°， 　　∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA， 　　即∠DFM＝∠MEG，又MF＝EG，DF＝MG， 　　∴△DFM≌△MGE(SAS)， 　　∴MD＝ME． 　　●類比探究 　　(1)答：等腰直角三解形 　　(2)增加條件∠BAD＝∠CAE或∠BAD＋∠CAE＝∠BAC