Question

已知直線y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），且與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)O直線AB的距離；
（3）過點(diǎn)C（0，1）的直線把△AOB的面積分成相等的兩部分，求這條直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），所以把點(diǎn)A的坐標(biāo)直接代入即可求出k的值；
（2）過點(diǎn)O作OP⊥AB于P，則線段OP的長即為點(diǎn)O直線AB的距離，根據(jù)△AOB的面積不變列式，即可求解；
（3）設(shè)所求過點(diǎn)C（0，1）的直線解析式為y=mx+1，△AOB被分成的兩部分面積相等，那么被分成的兩部分都應(yīng)該是△AOB的面積的一半，分兩種情況討論：①直線y=mx+1與OA相交；②直線y=mx+1與AB相交．

解答：解：（1）依題意得：-4k+3=0，
解得k=

3

4

；

（2）由（1）得y=

3

4

x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
如圖，過點(diǎn)O作OP⊥AB于P，則線段OP的長即為點(diǎn)O直線AB的距離．
∵S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

OA•OB，
∴OP=

OA•OB

AB

=

4×3

5

=

12

5

；

（3）設(shè)所求過點(diǎn)C（0，1）的直線解析式為y=mx+1．
S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×3=6．
分兩種情況討論：
①當(dāng)直線y=mx+1與OA相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為D，則
S_△COD=

1

2

OC•OD=

1

2

×1×OD=3，
解得OD=6．
∵OD＞OA，
∴OD=6不合題意舍去；
②當(dāng)直線y=mx+1與AB相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E，則
S_△BCE=

1

2

BC•|x_E|=

1

2

×2×|x_E|=3，
解得|x_E|=3，
則x_E=-3，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=

3

4

x+3=

3

4

，
即E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，

3

4

）．
將E（-3，

3

4

）代入y=mx+1，得-3m+1=

3

4

，
解得m=

1

12

．
故這條直線的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

12

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．