Question

如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥ON，垂足為點(diǎn)B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運(yùn)動，點(diǎn)F以2厘米/秒的速度沿OM方向運(yùn)動，EF與OA交于點(diǎn)C，連接AE，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；
（2）在運(yùn)動過程中，不論t取何值時(shí)，總有EF⊥OA．為什么？
（3）連接AF，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得S_△AEF=S_{四邊形ABOF}？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由見解析
（2）理由見解析
（3）存在，當(dāng)t=或t=時(shí)，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．

試題分析：（1）由=及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．
（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，進(jìn)而證明EF⊥OA．
（3）由已知S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．得出S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，從而可求出t的值．
試題解析：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在運(yùn)動過程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S_△AEF=S_{四邊形ABOF}
∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，
∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴當(dāng)t=或t=時(shí)，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．