Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，A, B是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接交AD于F點(diǎn).

（1）若，如圖，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②判斷MF與FC的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖，當(dāng)時(shí)，，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，取E的中點(diǎn)H，連結(jié)HF. 用等式表示線段CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析② FM=FC（2）CE=AF

【解析】

（1）①按要求畫圖即可；②根據(jù)“AAS”證明△AFM≌△DFC，即可證明結(jié)論成立；

（2）過點(diǎn)M作∥CD交AD于點(diǎn)G．先證明MG=AM，從而MG=CD，根據(jù)“AAS”可證△MFG≌ △CFD，進(jìn)而GF=FD，HF是△CME的中位線，可得.再證明∠FHA=90°，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而可求出線段CE與AF的數(shù)量關(guān)系.

（1）①如圖，

② FM=FC．

∵點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為M，

∴AB=AM.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD,

∴AM=CD.

∵，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠MAF=∠CDF,

又∵∠AFM=∠CFD,

∴△AFM≌△DFC，

∴FM=FC;

（2）CE與AF的數(shù)量關(guān)系是CE=AF

證明：過點(diǎn)M作∥CD交AD于點(diǎn)G．

∵B，M關(guān)于AD對(duì)稱，

∴∠1=∠2，AB=AM．

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD.

∵M(jìn)G∥CD，

∴MG∥AB．

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．

∴AM=MG．

∵AB=AM，AB=CD，

∴MG=CD．

∵M(jìn)G∥CD，

∴ ∠4=∠FDC．

∵∠MFG=∠CFD，

∴ △MFG≌ △CFD.

∴ FM=FC．

∴F為CM的中點(diǎn)，

∵H為ME的中點(diǎn),

∴ FH∥CE，

∵∠ABC=135°， 平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠2=180°-∠ABC=45°．

∴由對(duì)稱性，∠1=∠2=45°.

∵FH∥CD，AB∥CD，

∴FH∥AB．

∴∠HFA=∠2=45°.

∴∠FHA=90°，HA=HF．

∴，

∴，

又，

∴，

，

∴．