Question

【題目】定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．

（概念感知）

（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（問題探究）

（2）如圖2，是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是的重心，求的值．

（拓展提升）

（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上．，若是鈍角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)D．

①當(dāng)時(shí)，則_________；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先求出AD的長(zhǎng)度，然后得到，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設(shè)，，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)比值即可求出的值；

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長(zhǎng)度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長(zhǎng)度，然后得到CD的長(zhǎng)度；

②由①可知，得到CE和AC的長(zhǎng)度，分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長(zhǎng)度，即可得到答案．

解：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形．

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

∵，，

∴．

∴．

∴是“準(zhǔn)黃金”三角形．

（2）∵點(diǎn)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，

∴，．

∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，

∴．

不防設(shè)，，

∵點(diǎn)為的重心，

∴．

∴，．

∴．

∴．

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：

由題意得AE=3，

∵，

∴BC=5，

∵，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，

∴，

∴；

∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，

∴△ACE∽△DAF，

∴，

設(shè)，則，

∵∠ACD=30°，

∴，

∴，

解得：

∴．

②如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則．

∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，．

分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F，

∴，，，則．

∵，

∴．

∴．

∴設(shè)，，．

∵，

∴，且．

∴．

∴．

∴，解得．

∴，．

∴．