Question

【題目】如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC完全重合，且頂點(diǎn)B，D分別在AC的兩旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm

（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）

（2）點(diǎn)M，N分別從A點(diǎn)，C點(diǎn)同時(shí)以每秒1cm的速度等速出發(fā)，且分別在AD，CB上沿A→D，C→B方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到AD的距離（用含x的式子表示）

（3）在（2）的條件下，取DC中點(diǎn)P，連接MP，NP，設(shè)△PMN的面積為y（cm2），在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△PMN的面積y存在最大值，請(qǐng)求出y的最大值．

（參考數(shù)據(jù)sin75°=，sin15°=）

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）；

（3）

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=AC=，由三角函數(shù)求出AD即可；

（2）過N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于F，則NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函數(shù)求出FC，得NE=DF=x，即可得出結(jié)果；

（3）由三角函數(shù)求出FN，得出PF，△PMN的面積y=梯形MDFN的面積﹣△PMD的面積﹣△PNF的面積，得出y是x的二次函數(shù)，即可得出y的最大值．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，

∴AC===，

∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，

∴DC=AC=，

∴AD=DC=；

故答案為：；

（2）過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于F，如圖所示：

則NE=DF，

∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，

∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，

∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，

∵sin∠FNC=，NC=x，

∴FC=x，

∴NE=DF=

∴點(diǎn)N到AD的距離為

（3）∵sin∠NCF=，

∴FN=x，

∵P為DC的中點(diǎn)，

∴PD=CP=，

∴PF=x+，

∴△PMN的面積y=梯形MDFN的面積﹣△PMD的面積﹣△PNF的面積

=（x+﹣x）（x+2）﹣（﹣x）×﹣（x+）（x）

=

即y是x的二次函數(shù)，

∵＜0，

∴y有最大值，

當(dāng)x=時(shí)，

y有最大值為