Question

已知直線y=-x+4交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B，且拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一點，Q是OP的中點（O是原點）以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形與PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-x+4交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，即可求得A，B的坐標(biāo)，又由拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相等，即可求得此拋物線的對稱軸，利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）分別從當(dāng)點P（x，x）在直線AB上時與當(dāng)點Q（

x

2

，

x

2

）在直線AB上時分析，即可求得x的取值范圍；
（3）首先求得當(dāng)點E（x，

x

2

）在直線AB上時x的值，再分別從當(dāng)2≤x＜

8

3

時與當(dāng)

8

3

≤x≤4時去分析，注意三角形的面積求解方法與二次函數(shù)最大值的求解方法的應(yīng)用．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=4，即B（0，4），
當(dāng)y=0時，x=4，即A（4，0），
∵拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標(biāo)相等，
∴點E和點F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴對稱軸x=-

b

2a

=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，
把點A，點B代入拋物線解析式中求得a=-

1

2

，b=1，c=4，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x²+x+4；

（2）當(dāng)點P（x，x）在直線AB上時，x=-x+4，
解得x=2，
當(dāng)點Q（

x

2

，

x

2

）在直線AB上時，

x

2

=-

x

2

+4，
解得x=4．
所以，若正方形PEQF與直線AB有公共點，則2≤x≤4．

（3）當(dāng)點E（x，

x

2

）在直線AB上時，（此時點F也在直線AB上）

x

2

=-x+4，
解得x=

8

3

．
①當(dāng)2≤x＜

8

3

時，直線AB分別與PE、PF有交點，設(shè)交點分別為C、D，
此時，PC=x-（-x+4）=2x-4，
又PD=PC，
所以S_△PCD=

1

2

PC²=2（x-2）²，
從而：S=

1

4

x²-2（x-2）²=-

7

4

x²+8x-8=-

7

4

（x-

16

7

）²+

8

7

．
∵2≤

16

7

＜

8

3

，
∴當(dāng)x=

16

7

時，S_max=

8

7

．
②當(dāng)

8

3

≤x≤4時，直線AB分別與QE、QF有交點，設(shè)交點分別為M、N，
此時，QN=（-

x

2

+4）-

x

2

=-x+4，
又QM=QN，
∴S_△QMN=

1

2

QN²=

1

2

（x-4）²，
即S=

1

2

（x-4）²．
其中當(dāng)x=

8

3

時，S_max=

8

9

．
綜合①②得，當(dāng)x=

16

7

時，S_max=

8

7

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)自變量的取值范圍的確定、二次函數(shù)最大值的確定以及三角形面積的求解等知識．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．