Question

3．已知二次函數(shù)y₁=x²+mx+n的圖象經(jīng)過點P（-3，1），對稱軸是經(jīng)過（-1，0）且平行于y軸的直線．
（1）求m，n的值．
（2）如圖，一次函數(shù)y₂=kx+b的圖象經(jīng)過點P，與x軸相交于點A，與二次函數(shù)的圖象相交于另一點B，點B在點P的右側(cè)，PA：PB=1：5，求一次函數(shù)的表達(dá)式．
（3）直接寫出y₁＞y₂時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對稱軸公式求得m，把P（-3，1）代入二次函數(shù)y=x²+mx+n得出n=3m-8，進(jìn)而就可求得n；
（2）根據(jù)（1）得出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)已知條件，利用平行線分線段成比例定理求得B的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式中求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法就可求得一次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）結(jié)合圖形解答即可．

解答 解：∵對稱軸是經(jīng)過（-1，0）且平行于y軸的直線，
∴-$\frac{m}{2}$=-1，
∴m=2，
∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過點P（-3，1），
∴9-3m+n=1，
∴n=3m-8=-2；
（2）∵m=2，n=-2，
∴二次函數(shù)為y=x²+2x-2，
作PC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則PC∥BD，
∴$\frac{PC}{BD}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵P（-3，1），
∴PC=1，
∵PA：PB=1：5，
∴PA：AB=1：6，
∴BD=6，
∴B的縱坐標(biāo)為6，
代入二次函數(shù)為y=x²+2x-2得，6=x²+2x-2，
解得x₁=2，x₂=-4（舍去），
∴B（2，6），
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=1}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y₂=x+4；
（3）由圖象可知，當(dāng)x＜-3或x＞2時，y₁＞y₂．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)與不等式，根據(jù)已知條件求得B的坐標(biāo)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．