Question

【題目】如圖，函數(shù) 的圖像分別與 x軸、 y軸交于 A、 B兩點，點 C在 y軸上， AC平分 ．

(1) 求點 A、 B的坐標(biāo)；

(2) 求 的面積；

(3) 點 P在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以A、 B、P為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你直接寫出點 P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；（2）15；（3）使△PAB為等腰直角三角形的P點坐標(biāo)為（14，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，1）或（7，7）．

【解析】

（1）在函數(shù)解析式中分別令y=0和x=0，解相應(yīng)方程，可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）過C作CD⊥AB于點D，由勾股定理可求得AB，由角平分線的性質(zhì)可得CO=CD，再根據(jù)S△AOB=S△AOC+S△ABC，可求得CO，則可求得△ABC的面積；
（3）可設(shè)P（x，y），則可分別表示出AP2、BP2，分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況，分別可得到關(guān)于x、y的方程組，可求得P點坐標(biāo)．

解：（1）在中，

令y=0可得0=-x+8，解得x=6，

令x=0，解得y=8，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）如圖，過點C作CD⊥AB于點D，

∵AC平分∠OAB，
∴CD=OC，
由（1）可知OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵S△AOB=S△AOC+S△ABC，
∴×6×8=×6×OC+×10×OC，解得OC=3，
∴S△ABC=×10×3=15；
（3）設(shè)P（x，y），則AP2=（x-6）2+y2，BP2=x2+（y-8）2，且AB2=100，
∵△PAB為等腰直角三角形，
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三種情況，
①當(dāng)∠PAB=90°時，則有PA2=AB2且PA2+AB2=BP2，

即，解得或，

此時P點坐標(biāo)為（14，6）或（-2，-6）；
②∠PBA=90°時，有PB2=AB2且PB2+AB2=PA2，
即，解得或，

此時P點坐標(biāo)為（8，14）或（-8，2）；

③∠APB=90°時，則有PA2=PB2且PA2+PB2=AB2，
即解得或

此時P點坐標(biāo)為（-1，1）或（7，7）；
綜上可知使△PAB為等腰直角三角形的P點坐標(biāo)為（14，6）或（-2，-6）或（8，14）或（-8，2）或（-1，1）或（7，7）．