Question

【題目】請(qǐng)完成下面的幾何探究過程：

(1)觀察填空

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，把線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連DE，BE，則

①∠CBE的度數(shù)為____________；

②當(dāng)BE=____________時(shí)，四邊形CDBE為正方形．

(2)探究證明

如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，點(diǎn)D為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，把線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍得到線段CE，連DE，BE則：

①在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷∠CBE與∠A的大小關(guān)系，并證明；

②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求證：四邊形CDBE為矩形

(3)拓展延伸

如圖2，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，若△BCD恰好為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①45°，②；（2）①，理由見解析，②見解析；（3）或

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，證明，即可得出結(jié)果；

②由①得，求出，作于，則是等腰直角三角形，證出是等腰直角三角形，求出，證出四邊形是矩形，再由垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；

（2）①證明，即可得出；

②由垂直的定義得出，由相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；

（3）存在兩種情況：①當(dāng)時(shí)，證出，由勾股定理求出，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)時(shí)，得出即可．

解：（1）①，，

，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

在和中，，

，

；

故答案為：；

②當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形；理由如下：

由①得：，

，

作于，如圖所示：

則是等腰直角三角形，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

又，

四邊形是矩形，

又垂直平分，

，

四邊形是正方形；

故答案為：；

（2）①，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，

，，

，

，

；

②，

，

由①得：，

，

又，

四邊形是矩形；

（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若恰好為等腰三角形，存在兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，則，

，，

，

，

，

，

，

；

②當(dāng)時(shí)，；

綜上所述：若恰好為等腰三角形，此時(shí)的長(zhǎng)為或．