Question

如圖：拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點Q（x，0）是x軸上的一動點，過Q點作x軸的垂線，交拋物線于P點、交直線BA于D點，連接OD，PB，當點Q（x，0）在x軸上運動時，求PD與x之間的函數(shù)關(guān)系式；以O(shè)、B、P、D為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能求出Q點坐標；若不能，請說明理由．
（3）是否存在一點Q，使以PD為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先通過代入A點坐到二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)a的值，從而求二次函數(shù)解析式，再代入A，B求出直線AB解析式；
（2）設(shè)高Q（x，0），利用平行四邊形性質(zhì)對邊相等列出關(guān)于x的方程，注意平行于y軸的直線中，兩點之間的線段長度可以有兩點的縱坐標之差來求；
（3）利用運動的觀點，分別從當0＜x＜3時，x＜0時，x＞3時三類情況討論圓與y的相切的關(guān)系即可求得Q的坐標．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
∴y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
由y₁=-x²+2x+3求得B點的坐標為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=-1，b=3；
∴直線AB的解析式為：y₂=-x+3；

（2）設(shè)存在符合條件的點Q（x，0），則P點、D點的橫坐標都為x，
PD=QP-QD=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
當PD=OB=3時，四邊形OBPD成為平行四邊形-x²+3x=3，此方程無解，
∴不存在點Q；
當Q在x軸的負半軸Q′上時，如圖：P′D′=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x=OB=3，
解得：x=

3+ 21

2

＞0（舍去），x=

3- 21

2

，
∴以O(shè)、B、P、D為頂點的四邊形能成為平行四邊形；

（3）假設(shè)存在一點Q，使以PD為直徑的圓與y軸相切，
①當0＜x＜3時，設(shè)半徑r，r=

1

2

PD，PD=QP-QD=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
∴r=

1

2

（-x²+3x），
∴x=

1

2

（-x²+3x），
解得：x₁=1，x₂=0（舍去），
∴Q₁（1，0）；
①當x＜0時，設(shè)半徑為r，r=

1

2

PD，PD=QD-QP=y₂-y₁=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x，
∴r=

1

2

（x²-3x），
∴-x=

1

2

（x²-3x），
解得：x₁=1（舍去），x₂=0（舍去），
③當x＞3時，設(shè)半徑為r，r=

1

2

PD，PD=QD-QP=y₂-y₁=（-x+3）-（-x²+2x+3）=x²-3x，
∴r=

1

2

（x²-3x），
∴x=

1

2

（x²-3x），
解得：x₁=5，x₂=0（舍去），
∴Q₂（5，0）；
∴Q₁（1，0）、Q₂（5，0）時都與y軸相切．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及圓的切線的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，注意利用平行于y軸的直線中，兩點之間的線段長度可以有兩點的縱坐標之差來求是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．