Question

（2013•豐南區(qū)一模）閱讀材料：如圖，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出水平垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問題：如圖，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4）交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，3）

（1）求拋物線解析式和線段AB的長(zhǎng)度；
（2）點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）在第一象限內(nèi)拋物線上求一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式，然后求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求得線段AB的長(zhǎng)；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后求得CD的長(zhǎng)，從而求得三角形ABC的面積；
（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，表示出h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用面積相等求得x的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y1=a(x-1)2+4，
把B（0，3）代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，
令y₁=0，得0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）
∴AB=3

2

；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b
由A（3，0），B（0，3）
∴

3k+b=0 b=3

∴直線AB的解析式為y₂=-x+3 …（4分）
因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
所以當(dāng)x=1時(shí)，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方單位）；

（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x；
由S_△PAB=S_△CAB得：

1

2

×3(-x2+3x)=3，
解得x=2或x=1（舍）．
所以P（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及待定系數(shù)法求解析式和三角形面積求法，綜合性較強(qiáng)．