Question

【題目】實踐與探究

在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點(0,0)，點A(5,0)，點B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC，得到矩形ADEF，點O，B，C的對應點分別為D,E，F.

(1)如圖(1)，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；

(2)如圖(2)，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.

①求證：ΔADB≌ΔAOB；

②求點H的坐標.

Answer 1

【答案】(1)D(1，3)；(2)①證明見解析；②H(，3).

【解析】

（1）如圖①，在Rt△ACD中，根據勾股定理求出CD，即可解決問題；
（2）①根據旋轉可知，OA=DA，則根據HL證明全等即可；
②先證明△BDH≌△ACH，得DH=CH，設CH=x，則AH =5-x，在Rt△AHC中，根據AH2=HC2+AC2，構建方程求出x即可解決問題；

解：(1)∵A(5,0)，B(0,3)，

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴OB=AC=3，OA=BC=5 ∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到的，

∴AD=OA=5 .

在RtΔACD中

CD= ，

∴BD=1，

∴D(1，3) .

(2)①由旋轉可知：

OA=DA，∠AOB=∠ADE=90°，

∴∠AOB=∠ADB=90°，

在Rt△AOB與Rt△ADB中

，

∴△ADB≌△AOB(HL)；

②∵△ADB≌△AOB(HL)，

∴BD=BO=AC ，

在△BDH與△ACH中

，

∴△BDH≌△ACH(AAS)，

∴DH=CH，

∵DH+AH=AD=5，

∴CH+AH=5，

設CH=，則AH=，

在Rt△ACH中

，

解得：，

∴BH=，

∴H(,3).