Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+與x軸交于點A（﹣5，0），B（1，0），頂點為D，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式及D點坐標；

（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在點E，使得∠ECA＝2∠CAB，如果存在這樣的點E，求出△ACE面積，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+，頂點D（﹣2，）（2）S△AEC＝．

【解析】

（1）用待定系數法可求拋物線的表達式，即可求頂點D坐標；

（2）過點C作CM∥AB，過點E作EF⊥CM，設點E（m，-m2-2m+），通過證明△CEF∽△ACB，可得 ，即可求m的值，代入可求點E坐標，由面積和差關系可求△ACE面積．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+與x軸交于點A（﹣5，0），B（1，0），

∴ ，

∴

∴拋物線的表達式為：，

∴頂點D（﹣2，）

（2）如圖，過點C作CM∥AB，過點E作EF⊥CM，

設點E（m，﹣m2﹣2m+）

∵y＝﹣x2﹣2x+交y軸交于點C，

∴點C（0，），

∴OC＝，

∵CM∥AB，

∴∠MCA＝∠CAB，

∵∠ECA＝2∠CAB＝∠ECF+∠MCA，

∴∠ECF＝∠CAB，且∠AOC＝∠EFC＝90°，

∴△CEF∽△ACO，

∴，

∴

∴m＝0（不合題意），m＝﹣3，

∴點E（﹣3，4），

∴S△AEC＝×（+4）×3+×4×2﹣×5×＝．