Question

已知點(diǎn)P是拋物線y=

1

4

x2+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，2）的距離為d₂，過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．
（1）猜想d₁、d₂的關(guān)系并證明；
（2）如果線段PQ的長(zhǎng)度為5，求點(diǎn)M到x軸的最短距離．

Answer 1

分析：（1）本題可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式表示出d₁，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出d₂，然后進(jìn)行證明即可．
（2）本題要利用（1）的結(jié)論進(jìn)行求解．過(guò)P、Q作x軸的垂線設(shè)垂足為P₁、Q₁．根據(jù)（1）的結(jié)論可以得出PP₁=PF，QF=QQ₁，如果過(guò)M作x軸的垂線MC，那么MC就是梯形PP₁Q₁Q的中位線，即MC=

1

2

（PP₁+QQ₁），如果MC最短，那么PP₁+QQ₁就需最短，而PP₁=PF，QQ₁=QF，因此PF+QF就必須最短，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可知當(dāng)P、F、Q共線時(shí)，MC就最短，因此MC=

5

2

．

解答：解：
（1）猜想d₁=d₂．
證明如下：
設(shè)P（x₁，y₁）是拋物線上任一點(diǎn)
∴d₁=y₁=

x12

4

+1
而d₂=PF=

x12+(y1-2)2

=

4y1-4+(y1-2)2

=y₁
∴d₁=d₂．

（2）過(guò)M作MC垂直x軸，垂足為C，易得MC=

1

2

（PP₁+QQ₁）
由（1）證PP₁=PF，QQ₁=QF
∴MC=

1

2

（PP₁+QQ₁），
即要求PF+QF最小值
而PF+QF≥PQ，
故當(dāng)P、F、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PF+QF最小，且等于PQ．
所以MC最小值為

5

2

，
即M到x軸最短距離為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)圖象交點(diǎn)、中位線定理等知識(shí)點(diǎn)．