Question

已知，如圖A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，點E為x軸上一個動點，過點B作直線CE的垂線，垂足為D，交y軸于N點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)點E（t，0），△BEN的面積為S，請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）已知點F是拋物線y=ax²+bx+c上的一動點，點G是坐標平面上的一動點，在點E的移動過程中，是否存在以點B、E、F、G四點為頂點的四邊形是正方形，若存在，請求出E點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線過A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三點，由待定系數(shù)法可以直接求出拋物線的解析式；
（2）由條件可以證明△COE≌△BON，可以求得ON=OE，分3種情況表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在移動的過程中，由四邊形BEFG是正方形，且點F在拋物線上就有BE=EF，設(shè)出點F的坐標，從F在x軸的下方和上方就可以求出F的橫作標，就求出了E的坐標．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，則

0=a-b+c 0=9a+3b+c c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠CEO，
∴∠OBN=∠OCE，
∴△COE≌△BON，
∴ON=OE，
∴當0≤t≤3時，S=-

1

2

t²+

3

2

t，
當t＞3時，S=

1

2

t²+

3

2

t，
當t＜0時，S=

1

2

t²-

3

2

t；

（3）∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
當F在x軸下方時，設(shè)F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴（3-a）=-（a²-2a-3），
解得：a₁=0，a₂=3（不符合題意，舍去），
∴E（0，0），
當F在x軸上方時，設(shè)F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴3-a=a²-2a-3，
∴a₁=-2，a₂=3（不符合題意，舍去），
∴E（-2，0），
綜上所述，E（0，0）或（-2，0）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，正方形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)．