Question

如圖，△ABC中，下面說法正確的個(gè)數(shù)是個(gè)．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°；
②若O是△ABC的內(nèi)心，∠A=50°，則∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
④△ABC的面積是12，周長(zhǎng)是16，則其內(nèi)切圓的半徑是1．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①根據(jù)圓周角定理直接求出∠BOC的度數(shù)即可；
②利用內(nèi)心的定義得出∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）進(jìn)而求出即可；
③研究三角形面積最大值的問題，由于已知三邊的和，故可以借助海倫公式建立面積關(guān)于邊的函數(shù)，再利用基本不等式求最值；
④根據(jù)內(nèi)心到三角形三邊距離相等得出內(nèi)切圓半徑乘以周長(zhǎng)等于面積，即可得出答案．
解答：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°，根據(jù)圓周角定理直接得出即可，故此選項(xiàng)正確；
②若O是△ABC的內(nèi)心，∠A=50°，則∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=115°，故此選項(xiàng)正確；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
由題意，三角形的周長(zhǎng)是16，由令A(yù)B=x，則AC=10-x，
由海倫公式可得三角形的面積
S==4≤4×=12，
等號(hào)僅當(dāng)8-x=x-2即x=5時(shí)成立，
故三角形的面積的最大值是12，故此選項(xiàng)正確；
④△ABC的面積是12，周長(zhǎng)是16，設(shè)內(nèi)切圓半徑為x，則x×16=12，
解得：r=1.5，
則其內(nèi)切圓的半徑是1，此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故正確的有①②③共3個(gè)．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了內(nèi)心的性質(zhì)以及圓周角定理和由海倫公式可得三角形的面積，此題涉及知識(shí)較多，并且涉及到課外知識(shí)難度較大．