Question

25、如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）試探索OE與OF之間的數(shù)量關系．
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并給出說理過程．
（3）在（2）的前提下，如果四邊形AECF是正方形，那么△ABC將是什么三角形呢？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△EOC與△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；
（2）由（1）知，OE=OC=OF，當OC=OA，即點O為AC的中點時，可得OE=OC=OF=OA，即可證得四邊形AECF是矩形；
（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，又由于EF∥BC，得∠ACB=90°，所以△ABC是∠ACB=90°的直角三角形．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，F(xiàn)C平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，F(xiàn)O=OC，
∴EO=FO；

（2）由（1）知，OE=OC=OF，
當OC=OA，即點O為AC的中點時，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四邊形AECF是平行四邊形，AC=EF，
∴這時四邊形AECF是矩形；
∴當點O運動到AC中點時，
四邊形AECF是矩形，

（3）由正方形AECF可知，AC⊥EF，
又∵EF∥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是∠ACB=90°的直角三角形．

點評：此題考查了平行線，角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、矩形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．