Question

（2012•保定二模）（1）如圖1所示，△ABC是正三角形，E，D分別是以C為頂點的CB和AC延長線上的點，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數(shù)；
（2）若將（1）中正△ABC改成正四邊形ABCM，如圖2 所示，E，D分別是以C為頂點的CB和MC延長線上的點，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數(shù)；
（3）若將（2）中正△ABC改成正五邊形ABCMN，如圖3 所示，其它條件均不變，則∠AFB的度數(shù)為

108°

；
（4）若將（1）中正△ABC改成正n邊形ABCM…N，如圖4所示，其它條件均不變，根據(jù)（1），（2），（3）中所展現(xiàn)的規(guī)律用含字母n的代數(shù)式表達∠AFB的度數(shù)，并說明理由．
（5）若將（2）中正四邊形ABCM改成正六邊形ABCMKN，其它條件均不變，則∠AFB的度數(shù)為

120°

．

Answer 1

分析：（1）可通過證三角形AEB和BDC全等得出∠E=∠D，再根據(jù)∠EBF=∠CBD，那么這兩個三角形的外角∠AFB，∠ACB就應該相等．從而得出∠AFB的度數(shù)．
（2）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．
（3）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．
（4）由正三角形、正四邊形、正五邊形時，∠AFB的度數(shù)分別為60°，90°，108°，可得出“正n邊形”，其它條件不變，則∠AFB度數(shù)為=

(n-2)×180°

n

；
（5）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．

解答：解：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）在正四邊形ABCM中，∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=90°；

（3）在正五邊形ABCM中，∠ABC=∠ACB=108°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=108°．
故答案為：108°；

（4）結(jié)論：∠AFB=∠MCB=

(n-2)×180°

n

在正n邊形ABCM…N中，
∠ABC=∠MCB=

(n-2)×180°

n

，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=

(n-2)×180°

n

；

（5）由（1）同理即可得出：∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=120°．
故答案為：120°．

點評：此題主要考查了正三角邊形，正四邊形的性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)與等邊三角形與相似三角形的性質(zhì)以及規(guī)律問題應用，利用三角形全等得出角之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．