Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，把∠A沿著EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處．

（1）用尺規(guī)作圖的方法，在圖中找出點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并連接DE，DF（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；

（2）若ED⊥BC，求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接AD，作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E，F(xiàn)即為所求；（2）根據(jù)已知條件易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，再證明△AEF和△DEF都是等邊三角形，即可得DF=DE=EF=FA=AE，根據(jù)四條邊都相等的四邊形為菱形即可判定四邊形AEDF是菱形．

（1）如圖，點(diǎn)E、F為所作；

（2）證明：∵把∠A沿著EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處，

∴∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠DFE，

∵ED⊥BC，∠C=90°，

∴DE∥AC，

∴∠DFC=∠EDF=60°，

∴∠AFE=∠DFE=（180°﹣∠EFC）=（180°﹣60°）=60°，

∴△AEF和△DEF都是等邊三角形，

∴DF=DE=EF=FA=AE，

∴四邊形AEDF是菱形．