Question

已知：如圖，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于D點(diǎn)，過D作⊙O的切線交BC于E點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，連OE交DC于P，則下列結(jié)論，其中正確的有（　　）
①BC=2DE；②OE∥AB；③DE=

2

PD；④AC•DF=DE•CD．

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

∵∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切線
∵BC是⊙O的切線
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED
∴P是CD的中點(diǎn)
∴OP∥AB，
∴OE∥AB
②正確，
∴E是BC的中點(diǎn)
∵AC是直徑
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴BC=2DE，①正確；
∵EF⊥AB
∴∠DFE=∠ADC=90°
∵DE=CD，BC是⊙O的切線，
∴DE是⊙O的切線，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴

AC

DE

=

CD

DF

∴AC•DF=DE•CD，④正確．
在四邊形PDFE中，我們可以證明它是矩形，而不具備證明它是正方形的條件，
∴DE=

PE2+PD2

只有PE=PD時(shí)DE才等于

2

PD．
∴③DE=

2

PD不成立
綜上所述，正確的是C
故選C