Question

（2012•豐臺(tái)區(qū)二模）小杰遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，△AEF的三條高線交于點(diǎn)H，如果AC=4，EF=3，求AH的長(zhǎng)．
小杰是這樣思考的：要想解決這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)想辦法將題目中的已知線段與所求線段盡可能集中到同一個(gè)三角形中．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)將△AEH平移至△GCF的位置（如圖2），可以解決這個(gè)問(wèn)題．
請(qǐng)你參考小杰同學(xué)的思路回答：
（1）圖2中AH的長(zhǎng)等于

7

．
（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的長(zhǎng)等于

a2-b2

．

Answer 1

分析：（1）連接EG，先判定四邊形AECG是矩形，然后根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EG=AC，再根據(jù)平移可得GF⊥EF，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算，把AC、EF的長(zhǎng)度代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接EG，
∵AE⊥BC于點(diǎn)E，△GCF由△AEH平移得到，
∴CG∥AE，
又∵?ABCD的邊AD∥BC，AE⊥BC
∴四邊形AECG是矩形，
∴EG=AC=4，
∵AH⊥EF，GF是由AH平移得到，
∴GF⊥EF，
在Rt△EFG中，GF=

EG2-EF2

=

42-32

=

7

，
即AH=

7

；

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算，AH=GF=

EG2-EF2

=

a2-b2

．
故答案為：

7

，

a2-b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平移的性質(zhì)，連接EG，證明出四邊形AECG是矩形，從而得到EG=AC是解題的關(guān)鍵．