Question

如圖，正方形MNPQ網(wǎng)格中，每個(gè)小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點(diǎn)在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點(diǎn)上．
（1）設(shè)正方形MNPQ網(wǎng)格內(nèi)的每個(gè)小方格的邊長為1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；②正方形ABCD的面積；
（2）設(shè)MB=a，BQ=b，利用這個(gè)圖形中的直角三角形和正方形的面積關(guān)系，你能驗(yàn)證已學(xué)過的哪一個(gè)數(shù)學(xué)公式或定理嗎？相信你能給出簡明的推理過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的面積公式：S=兩條直角邊的乘積的一半進(jìn)行計(jì)算；
（2）顯然根據(jù)面積能夠驗(yàn)證勾股定理以及完全平方公式．

解答：解：（1）∵網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，
由圖可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．
∴S_△ABQ=

1

2

AQ•BQ=6；同理S_△BCM=S_△CDN=S_△ADP=6．
又∵M(jìn)Q=7
∴S_{正方形MNPQ}=49．
∴S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ=49-4×6=25．

（2）勾股定理或完全平方公式．
（只要給出其一即可得1分）
驗(yàn)證：在△BCM、△ABQ中．
∵∠M=∠Q=∠ABC=90°，∴∠MBC=∠QAB．
又∵AB=BC
∴△BCM≌△ABQ
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵M(jìn)B=a，BQ=b，S_{正方形MNPQ}=S_{正方形ABCD}+4S_△ABQ
∴（a+b）²=a²+b²+4×

1

2

ab
即（a+b）²=a²+2ab+b²（完全平方公式）
或又∵S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ
∴AB²=（a+b）²-4×

1

2

ab，即AB²=a²+b²．
設(shè)AB=c，得c²=a²+b²（勾股定理）

點(diǎn)評(píng)：掌握運(yùn)用面積的計(jì)算方法證明勾股定理以及一些公式．