Question

已知二次函數(shù)y=4x²-（3k-8）x-6（k-1）²的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），且點(diǎn)A、B到原點(diǎn)距離之比為3：2．
①求k值．
②若點(diǎn)P在y軸上，∠PAB=α，∠PBA=β．求證：α＜β．

Answer 1

分析：①根據(jù)兩根之積可以判斷兩根異號，再根據(jù)點(diǎn)A、B到原點(diǎn)距離之比為3：2，可以設(shè)A（-3t，0），B（2t，0），再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得k值；
②根據(jù)AO＞BO和正切值的變化規(guī)律進(jìn)行分析判斷．

解答：解：①設(shè)A（-3t，0），B（2t，0），
則有

-3t+2t= 3k-8 4 -3t•2t= -6(k-1) 2 4

，
解得k=2或k=6，
經(jīng)檢驗(yàn)k=6符合題意．

②∵tan∠PAB=

PO

AO

，tan∠PBA=

PO

BO

，AO＞BO
∴tan∠PAB＜tan∠PBA
∴∠PAB＜∠PBA，即α＜β．

點(diǎn)評：此題綜合考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程的根之間的聯(lián)系以及銳角三角函數(shù)的定義和變化規(guī)律．