Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，圓心P在x軸的正半軸上，已知AB=10，AP=

（1）求點(diǎn)P到直線AB的距離；

（2）求直線y=kx+b的解析式；

（3）在圖②中存在點(diǎn)Q，使得∠BQO=90°，連接AQ，請求出AQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）y=﹣x+6（3）

【解析】

（1）先根據(jù)垂徑定理求出得出AD=5，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）設(shè)出OP=x，利用勾股定理即可得出OP的值，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（3）先確定出AQ取得最小值時的條件，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

（1）如圖①，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=DB=AB=5

在Rt△APD中，由AD=5，AP=，

根據(jù)勾股定理得，得PD2+AD2=AP2

則PD=，

∴點(diǎn)P到直線AB的距離為；

（2）連接BP，設(shè)OP=x

∵OB2=BP2﹣OP2，OB2=AB2﹣OA2

∴OB2=（）2﹣x2，OB2=102﹣（+x）2

∴（）2﹣x2=102﹣（+x）2

解得：x=，

∴OA=8，OB=6，

∴A（8，0），B（0，6），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（3）解：如圖②，∵∠OQB=90°，

∴點(diǎn)Q是以O(shè)B為直徑的圓上，

以O(shè)B為直徑作圓E，連接EQ，AE，

∴EQ+AQ≥AE

當(dāng)點(diǎn)A，Q，E三點(diǎn)在一直線上時，AQ有最小值，

在Rt△AOE中，AE=，

∴AQ的最小值為AE﹣OE=﹣3．