Question

【題目】如圖，將矩形OABC置于一平面直角坐標系中，頂點A，C分別位于x軸，y軸的正半軸上，點B的坐標為（5，6），雙曲線y＝（k≠0）在第一象限中的圖象經過BC的中點D，與AB交于點E，P為y軸正半軸上一動點，把△OAP沿直線AP翻折，使點O落在點F處，連接FE，若FE∥x軸，則點P的坐標為___．

Answer 1

【答案】（0，）或（0，15）．

【解析】

延長EF交CO于G，依據反比例函數圖象上點的坐標特征，即可得到點E的橫坐標為5，點E的縱坐標為3，再根據勾股定理可得EF的長，設OP＝x，則PG＝3﹣x，分兩種情況討論，依據Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，即可得到x的值，進而得出點P的坐標．

如圖所示，延長EF交CO于G，

∵EF∥x軸，

∴∠FGP＝90°＝∠AEF，

∵雙曲線y＝（k≠0）經過矩形OABC的邊BC的中點D，點B的坐標為（5，6），

∴點D（，6），

∴k＝15，

又∵點E的橫坐標為5，

∴點E的縱坐標為＝3，即AE＝3，

①當點F在AB左側時，由折疊可得，AF＝AO＝5，

∴Rt△AEF中，EF＝＝4，

∴GF＝5﹣4＝1，

設OP＝x，則PG＝3﹣x，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴12+（3﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴點P的坐標為（0，）；

②當點F在AB右側時，同理可得EF＝4，

∴GF＝5+4＝9，

設OP＝x，則PG＝x﹣3，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴92+（x﹣3）2＝x2，

解得x＝15，

∴點P的坐標為（0，15）；

故答案為：（0，）或（0，15）．