Question

如圖，已知⊙O的直徑AB的長是4cm，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直徑與AB的延長線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求弦BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到∠ACB=90°，又∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠AOC，等量代換得到∠OCP=90°，證明PC是⊙O的切線．
（2）在直角△ABC中，由AC=PC，∠COB=2∠A，以及（1）的結(jié)論得到∠A=30°，然后求出線段BC的長度．

解答：解：（1）∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠A
又∵∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°
∴即OC⊥CP
而OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠A=∠ACO=∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠COB=∠CBO
∴BC=OC
∴BC=

1

2

×4=2（cm）

點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及題目中所給出的角度的關(guān)系，可以得到∠OCP=90°，證明PC是⊙O的切線．（2）在直角三角形中，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半可以求出線段BC的長．