Question

如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論；

Answer 1

解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）當(dāng)O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形。