Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經(jīng)過A（-2，0），C（4，0）兩點，和y軸相交于點B，連接AB、BC．
（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）．
（2）在第一象限外，是否存在點E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，請簡要說明如何找到符合條件的點E，然后直接寫出點E的坐標，并判斷是否有滿足條件的點E在拋物線上；若不存在，請說明理由．
（3）在直線BC上方的拋物線上，找一點D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此時點D的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經(jīng)過A（-2，0），C（4，0）兩點，
∴

- 1 2 ×(-2)2+b×(-2)+c=0 - 1 2 ×42+b×4+c=0

，
解得

b=1 c=4

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．

（2）在第一象限外存在點E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似．
當BC為直角邊時，
若點B為直角頂點，則點E的坐標為（-8，-4），此時點E不在拋物線上；
若點C為直角頂點，則點E的坐標為（-4，-8），此時點E在拋物線上．

（3）∵S_△ABC=

1

2

×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．
如圖所示，設(shè)在直線BC上方的拋物線上，找一點D的坐標為（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x軸于點E，則
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=

1

2

×(-

1

2

x2+x+4+4)×x+

1

2

×(4-x)×(-

1

2

x2+x+4)-

1

2

×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3．
∴點D的坐標為（1，

9

2

）或（3，

5

2

）．