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        1. 數(shù)學(xué)活動(dòng)---求重疊部分的面積.
          問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了一個(gè)問(wèn)題:
          如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,DF交AC于點(diǎn)G.求重疊部分(△DCG)的面積.

          (1)獨(dú)立思考:請(qǐng)回答老師提出的問(wèn)題.
          (2)合作交流:“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H,DF交AC于點(diǎn)G,如圖2,你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.
          (3)提出問(wèn)題:老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題.
          “愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是:如圖3,將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點(diǎn)M,N,使DM=MN,求重疊部分(△DMN)的面積.
          任務(wù):①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題,直接寫(xiě)出△DMN的面積是______.
          ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組,大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題,并在圖4中畫(huà)出圖形,標(biāo)明字母,不必解答(注:也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)).

          【答案】分析:(1)確定點(diǎn)G為AC的中點(diǎn),從而△ADC為等腰三角形,其底邊AC=8,底邊上的高GD=BC=3,從而面積可求;
          (2)本問(wèn)解法有多種,解答中提供了三種不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解;
          (3)①對(duì)于愛(ài)心小組提出的問(wèn)題,如答圖4所示,作輔助線,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì),列方程求解;
          ②本問(wèn)要求考生自行提出問(wèn)題,答案不唯一,屬于開(kāi)放性問(wèn)題.
          解答:解:(1)【獨(dú)立思考】
          ∵∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn),
          ∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB.
          又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.
          ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC.
          ∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC.
          又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn),
          ∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3,
          ∴S△DGC=CG•DG=×4×3=6.

          (2)【合作交流】
          解法一:如下圖所示:

          ∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1.
          ∵∠C=90°,ED⊥AB,
          ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
          ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2,
          ∴GH=GD.
          ∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
          ∴∠A=∠3,∴AG=GD,
          ∴AG=GH,即點(diǎn)G為AH的中點(diǎn).
          在Rt△ABC中,AB===10,
          ∵D是AB中點(diǎn),∴AD=AB=5.
          在△ADH與△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,
          ∴△ADH∽△ACB,∴,即,解得DH=
          ∴S△DGH=S△ADH=××DH•AD=××5=
          解法二:同解法一,G是AH的中點(diǎn).
          連接BH,∵DE⊥AB,D是AB中點(diǎn),

          ∴AH=BH.設(shè)AH=x,則CH=8-x.
          在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2
          即:(8-x)2+36=x2,解得x=
          ∴S△ABH=AH•BC=××6=
          ∴S△DGH=S△ADH=×S△ABH=×=
          解法三:同解法一,∠1=∠2.
          連接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,
          ∴∠1=∠2=∠B=∠DCB.
          ∴△DGH∽△BDC.
          過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M,CN⊥AB于點(diǎn)N.

          ∵D是AB的中點(diǎn),∠ACB=90°,
          ∴CD=AD=BD,∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),
          ∴DM=BC=×6=3.
          在Rt△ABC中,AB===10,AC•BC=AB•CN,
          ∴CN===
          ∵△DGH∽△BDC,
          ,
          ∴S△DGH=•S△BDC=BD•CN
          ∴S△DGH=××5×=

          (3)【提出問(wèn)題】
          ①解決“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題.
          如答圖4,過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K,則DK∥BC,
          又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn),
          ∴DK=BC=3.

          ∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B,
          ∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°,
          ∴△DKN∽△ACB,
          ,即,得KN=
          設(shè)DM=MN=x,則MK=x-
          在Rt△DMK中,由勾股定理得:MK2+DK2=MD2,
          即:(x-2+32=x2,解得x=,
          ∴S△DMN=MN•DK=××3=
          ②此題答案不唯一,示例:如答圖5,將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥BC于點(diǎn)M,DF交BC于點(diǎn)N,求重疊部分(四邊形DMCN)的面積.

          點(diǎn)評(píng):本題是幾何綜合題,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計(jì)算、解方程等知識(shí)點(diǎn).題干信息量大,篇幅較長(zhǎng),需要認(rèn)真讀題,弄清題意與作答要求.試題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,重疊圖形的形狀與面積不斷發(fā)生變化,需要靈活運(yùn)用多種知識(shí)予以解決,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的研究與探索精神,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,是一道好題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•太原)數(shù)學(xué)活動(dòng)---求重疊部分的面積.
          問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了一個(gè)問(wèn)題:
          如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,DF交AC于點(diǎn)G.求重疊部分(△DCG)的面積.

          (1)獨(dú)立思考:請(qǐng)回答老師提出的問(wèn)題.
          (2)合作交流:“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H,DF交AC于點(diǎn)G,如圖2,你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.
          (3)提出問(wèn)題:老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題.
          “愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是:如圖3,將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點(diǎn)M,N,使DM=MN,求重疊部分(△DMN)的面積.
          任務(wù):①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題,直接寫(xiě)出△DMN的面積是
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          ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組,大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題,并在圖4中畫(huà)出圖形,標(biāo)明字母,不必解答(注:也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。

          問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了一個(gè)問(wèn)題:

          如圖,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,DF交AC于點(diǎn)G。

          求重疊部分(△DCG)的面積。

          (1)獨(dú)立思考:請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。

          (2)合作交流:“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H,DF交AC于點(diǎn)G,如圖(2),你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程。

          (3)提出問(wèn)題:老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題!皭(ài)心”小組提出的問(wèn)題是:如圖(3),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點(diǎn)M,N,使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、

          任務(wù):①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題,直接寫(xiě)出△DMN的面積是    

          ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組,大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題,并在圖中畫(huà)出圖形,標(biāo)明字母,不必解答(注:也可在圖(1)的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn))。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(山西卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

          數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。

          問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了一個(gè)問(wèn)題:

          如圖(1),將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,DF交AC于點(diǎn)G。

          求重疊部分(△DCG)的面積。

          (1)獨(dú)立思考:請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。

          (2)合作交流:“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H,DF交AC于點(diǎn)G,如圖(2),你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程。

          (3)提出問(wèn)題:老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題。“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是:如圖(3),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點(diǎn)M,N,使DM=MN,求重疊部分(△DMN)的面積。

          任務(wù):①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題,直接寫(xiě)出△DMN的面積是    .

          ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組,大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題,并在圖中畫(huà)出圖形,標(biāo)明字母,不必解答(注:也可在圖(1)的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn))。

           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年山西省太原市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          數(shù)學(xué)活動(dòng)---求重疊部分的面積.
          問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了一個(gè)問(wèn)題:
          如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,DF交AC于點(diǎn)G.求重疊部分(△DCG)的面積.

          (1)獨(dú)立思考:請(qǐng)回答老師提出的問(wèn)題.
          (2)合作交流:“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H,DF交AC于點(diǎn)G,如圖2,你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程.
          (3)提出問(wèn)題:老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí),將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題.
          “愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是:如圖3,將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點(diǎn)M,N,使DM=MN,求重疊部分(△DMN)的面積.
          任務(wù):①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題,直接寫(xiě)出△DMN的面積是______.
          ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組,大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題,并在圖4中畫(huà)出圖形,標(biāo)明字母,不必解答(注:也可在圖1的基礎(chǔ)上按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)).

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