Question

如圖，?ABMN中，AC平分∠BAN交BM于C點(diǎn)，CD∥AB交AN于D點(diǎn)．
（1）判斷四邊形ABCD的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BM所在的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，若∠ABM=60°，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，請(qǐng)直接寫出A、C、D點(diǎn)坐標(biāo)及經(jīng)過D點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中反比例函數(shù)的圖象與MN交于P點(diǎn)，求當(dāng)BM的長為多少時(shí)，P點(diǎn)為MN的中點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）是菱形，（1分）
證明：∵四邊形ABMN是平行四邊形
∴AD∥BC
∵CD∥AB
∴四邊形ABCD是平行四邊形（2分）
∵AC平分∠BAN
∴∠BAC=∠DAC
∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
∴∠BAC=∠ACB
∴BA=BC
∴?ABCD是菱形（4分）

（2）A（2，2），C（4，0），D（6，2），（8分）

（3）設(shè)BM=a，
∵A（2，2），∠ABM=60°，
∴點(diǎn)（10分）
把代入，
解之得a=11．
所以當(dāng)BM=11時(shí)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過MN的中點(diǎn)．（12分）
分析：（1）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后證明其鄰邊BA和BC相等，即可證明四邊形ABCD是菱形；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），C（4，0），D（6，2）；
（3）設(shè)BM=a，然后用a表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所在反比例函數(shù)的解析式求得a的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的利用平行四邊形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)．