Question

12．如圖，等邊△ABO在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，交OB于E．
（1）求直線OB的解析式及k值；
（2）求△BDE的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，則OC=AC=2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得OC和BC的長，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線OB的解析式；根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入y=$\frac{k}{x}$，即可求得k的值；
（2）先將直線OB的解析式與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立求出E點(diǎn)坐標(biāo)，求出BE、BD的長，再作EF⊥BD于F，求出EF，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，
∵△ABO是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OC=AC=2．
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為y=mx，則2$\sqrt{3}$=2m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴直線OB的函數(shù)解析式為y=$\sqrt{3}$x；
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴D（3，$\sqrt{3}$），
∴k=3$\sqrt{3}$；

（2）將y=$\sqrt{3}$x代入y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，得$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，
解得x=±$\sqrt{3}$（負(fù)值舍去），
則E（$\sqrt{3}$，3），
∵B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$），
∴BE=$\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}-3）^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$OA=2．
如圖，作EF⊥BD于F，則EF=BE•sin∠B=（4-2$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
∴△BDE的面積=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×2×（2$\sqrt{3}$-3）=2$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積．利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．