Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。理由見(jiàn)解析

【解析】解：（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°。

∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。

設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。

∴當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，AP=2。

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF。

∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。

∵點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，∴AP=BQ。

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。

∴在△APE和△BQF中，

∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四邊形PEQF是平行四邊形。

∴DE=EF。

∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB。

又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，∴DE=3。

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。

（1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可。

（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE=3，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變。